On fait l’hypothèse d’une demande constante par unité de temps et de délais d’approvisionnement connus. 2 situations sont envisagées selon que le coût d’acquisition des produits est constant ou variable.

1. Cas où le coût d’acquisition est constant

Entre « ne pas stocker » et donc s’approvisionner en continu et s’approvisionner une seule fois en début de période suffisamment pour couvrir toute la demande de cette période, de multiple solutions intermédiaires sont envisageables. Il faut déterminer celle qui minimise le coût total de stockage.

Or les composantes de ce coût se comportent de manière antagoniste : s’approvisionner très peu de fois dans la période signifie certes des coûts de commande ou de lancement limités mais en contre-partie des coûts de détention élevés. A contrario, commander plusieurs fois dans la période diminue les coûts de détention mais augmente les coûts de commande et de lancement. Il faut donc procéder à un arbitrage.

La procédure consiste :

-        A recenser les coûts affectés par le niveau des stocks

-        A formaliser le coût total du stockage en fonction de ce niveau

-        A rechercher le volume de stockage qui minimise le coût total (annulation de la dérivée)

Nous allons appliquer cette procédure successivement :

-        Au cas d’un approvisionnement externe périodique et ponctuel

-        Au cas d’un approvisionnement interne périodique mais progressif

1.1. Approvisionnement externe, périodique et ponctuel

2 situations peuvent survenir selon que la demande s’adressant au stock peut être différée ou non :

1.1.1.      La demande au stock est non différable

Cette situation correspond au modèle de Wilson attribuable en réalité à Harris et remontant à 1915.

Soient : – Ca le coût d’acquisition (constant);

- Cc le coût administratif lié à chaque commande

- Cd le coût de détention d’une unité de produit pendant une période déterminée (l’année)

Soient : – SA le stock actif

- DA la demande annuelle et statique

Ct = Ca*DA + Cc*DA/SA + Cd*SA/2

On considère Ct comme une fonction de SA : Ct (SA) et on annule la dérivée par rapport à SA :

dCt/dSA = – Cc * DA/SA²  + Cd/2 = 0

On en déduit :

SA² =  2Cc.DA/Cd  et  SA* = √(2Cc.DA/Cd)

Stock moyen optimal :  SA*/2 = √(Cc.DA/2Cd)

Nombre de passations de commande : N* = DA/SA*   = √(Cd.DA/2Cc)

Délai optimal entre 2 commandes :  T* = 1an/N*  =12mois/N*   = 52sem/N*

Exercice d’application :

Un grossiste en matériel hifi estime à 2000 unités par an la demande en enceintes DISCO qui s’adresse à son entreprise. Une étude sur l’optimisation de sa gestion des stocks a fait apparaître les coûts suivants :

-        Coût d’acquisition = 150 €

-        Coût de passation de commande = 225 €

-        Coût de détention = 22,50 € par unité stockée pendant 1 an

1)      Établir la fonction de coût total

2)      Calculer le stock actif optimal

3)      En déduire :

-        le nombre optimal d’approvisionnements dans l’année

-        le coût total de stockage en €

1) Ct = Ca * DA  +  Cc *DA/SA   +  Cd *SA/2

Ct = 150 * 2000 + 225  *  2000/SA + 22,50 *SA/2

Ct = 300 000 + 450000/SA   + 11,25 * SA

2) SA = √(2CcDA/Cd)  = √(2.2000.225/22,5)  = 200

3) N* = DA/SA*  = 2000/200  = 10

Ct = 300 000 + 450000/200  + 11,25 * 200

Ct = 300000 + 2250 + 2250

Ct = 304500

1.1.2.       La demande au stock est différable

La clientèle accepte de différer sa demande moyennant un dédommagement qui constitue une pénalité pour l’entreprise. Un nouveau coût apparaît, la pénalité de retard supposée proportionnelle au délai d’attente t.

Soit Pn la pénalité pour un retard d’une année par unité de demande différée.

Résumé des différents coûts :

-        coût d’acquisition : Ca * DA

-        coût de commande : Cc * DA/VC=  Cc * DA/(SA+DD)   où VC = SA+DD est le Volume de Commande tenant compte de la demande différée DD.

-        coût de détention : il est ramené au prorata de la durée effective de la détention du stock, soit T – t.

On aura donc Cd*SA/2*(T-t)/T = Cd*SA/2 *SA/(SA+DD)

-        pénalité de retard : elle s’applique à la demande différée moyenne  et au prorata de la durée t du retard. Elle est égale à Pn *DD/2  *t/T soit :

Pn *DD/2  * DD/(SA+DD)

Donc le coût total s’écrit :

Ct= Ca*DA+Cc*DA/(SA+DD)+Cd*SA/2*SA/(SA+DD)+Pn*DD/2*DD/(SA+DD)

On montre que :

SA*= √(2Cc.DA/Cd) x √(Pn/(Pn+Cd)) est le stock actif optimal

DD*=Cd/Pn  x SA* est le volume optimal de demande différée par période

le volume de commande optimal sera de :

VC*=SA*+DD* =√(2Cc.DA/Cd) x √((Pn+Cd)/Pn)

Le nombre optimal de cycles de commandes devient :

N*=DA/VC*

Problème (suite): dans l’exemple précédent, on admet que les détaillants acceptent de différer la demande moyennant une pénalité de 39,90€ par enceinte et par an.

Calculer SA*, DD*, VC* et N*

En déduire l’économie ou la perte réalisée par rapport au cas précédent

1.2. Approvisionnement interne, périodique et progressif

Le stock est reconstitué en interne pendant une durée t de fabrication d’une série. Si q est la production par unité de temps, et d la demande qui s’adresse à ce stock il faut une égalité q > d pour satisfaire cette demande et que le stock se reconstitue au rythme de (q – d) unités par unité de temps soit une fonction de reconstitution :

SA= (q-d).t

Si VS est le volume de chaque série on a :  VS=qt d’où l’on tire t=VS/q   et

SA=(q-d)/q x VS

Etablissons la fonction Ct du coût total.

Comme nous sommes en interne, au coût d’acquisition Ca va correspondre un coût de fabrication Cf d’une unité de produit.

DA sera toujours la demande qui s’adresse au stock.

Au coût de passation de commande Cc va correspondre en interne un coût de lancement Cl d’une série de production qui sera multiplié par le nombre  DA/VS de séries qui seront lancées pendant l’année.

Enfin il y aura un coût de détention Cd d’une unité de stock moyen pendant la période T.

D’où la fonction coût total suivante :

Ct = Cf x DA + Cl x DA/VS + Cd x SA/2

Ct = Cf x DA + Cl x DA/VS + Cd x VS/2 x (q-d)/q

Ce coût est minimal pour : dCt/dVS = 0

C’est à dire : – Cl.DA/VS² + Cd/2 x (q-d)/q = 0

Donc : VS* = √(2Cl.DA/Cd) x √(q/(q-d)) ; on en tire :

SA* = VS* x (q-d)/q

Les séries seront lancées un nombre de fois N* = DA/VS* au cours de l’année.

2.     Cas où le coût d’acquisition est variable

Dans la réalité on a souvent :

-          Des coûts d’acquisition variables dans le temps ou

-          Des coûts d’acquisition variables en fonction des volumes de commandes (remises sur quantités accordées par les fournisseurs)

2.1. Le coût d’acquisition est variable dans le temps

2.1.1     Cas d’une modification (réduction) exceptionnelle suivi d’un retour à la “normale”

Nous sommes dans le cas d’une remise promotionnelle caractérisée par une réduction unitaire de r €. L’acheteur va en profiter en gonflant le volume CX de cette commande particulière ou exceptionnelle.

La question est de savoir :

-          Quelle doit être le volume optimal CX* de cette commande particulière ?

-          CX* a-t-il une incidence sur les volumes SA des futures commandes ?

Pour répondre à ces questions il faut exprimer le coût total Ct en fonction de CX et de SA à savoir :

Ct = Ct (CX ; SA), en tenant compte :

-          Du coût d’acquisition Ca en temps normal et

-          Ca – r  pour la commande particulière

-          Du coût de commande Cc indépendant du volume et portant sur  un nombre de commandes égal à : (DA – CX)/SA +1

-          Du coût de détention Cd qui sera considéré comme proportionnel à Ca (Cd = sCa) en temps normal et à Ca – r (Cd = s(Ca – r) pour les articles bénéficiant de la réduction

-          De la demande annuelle DA

La fonction du coût total s’écrit :

Ct = [Ca.(DA – CX) + (Ca – r) CX] + Cc[(DA-CX)/SA+1]  + s.Ca.SA/2.(DA-CX)/DA + s.(Ca-r).CX/2.CX/DA

Le premier terme correspond à l’acquisition, le second à la commande, le troisième à la détention du stock normal et le quatrième à la détention du stock acquis en promotion CX.

(DA-CA)/DA : représente la part du temps où des produits acquis au prix normal ont été stockés et

CX/DA : représente la part du temps où des produits à prix réduits ont été stockés

Les conditions d’optimisation (minimisation) sont celles qui annulent les dérivées partielles

∂Ct/∂SA = 0 et ∂Ct/∂CX = 0. On obtient :

SA* =  √(2Cc.DA/(sCa)). On retrouve le modèle de Wilson; SA* est donc indépendant de l’opération promotionnelle, ce qui signifie qu’il est inutile d’anticiper les rabais de l’année dans la gestion des stocks.

CX* = r.DA/(s.(Ca-r)) + Ca.SA*/(Ca-r)

On remarque qu’en l’absence de rabais (r = 0), on a CX* = SA*.

Exercice : Dans le cas de Mr Vincent le grossiste en hi-fi, on se met dans le cas d’une demande non différable mais on admet qu’au cours de la 4ème commande de l’année le fournisseur lui accorde un rabais exceptionnel de 6€ par unité. Quel doit être le volume de cette commande exceptionnelle ainsi que celui des commandes suivantes ? On demande donc, en conservant les données suivantes :

DA = 2000

Ca = 150

Cd = 22.50 et Cc = 225 €

de calculer SA*, CX*, N* ainsi que l’économie éventuelle réalisée par rapport au premier cas où le coût total était de 304500 €.

2.1.2.      Cas d’une modification permanente

Il s’agit d’une hausse de prix programmé de h € à partir d’une certaine date.

L’acheteur voudra passer une commande spéciale CS juste avant cette hausse alors qu’il a encore un stock résiduel de R unités.

Quel doit être le volume optimal CS* de cette commande spéciale d’anticipation ?

Quel doit être le stock actif optimal SA* après la hausse ?

Pour répondre à ces questions il faut exprimer le coût annuel Ct à partir de la date de changement de tarif compte tenu:

- de la demande annuelle DA,

-du coût d’acquisition unitaire Ca qui va passer à Ca+h après la hausse

- du coût de commande Cc qui va porter sur [(DA-CS-R)/SA + 1] et

- du coût de détention d’une unité pendant un an Cd qui vaudra sCa avant la hausse et s(Ca+h) après.

Ct =[ Ca (CS+R) + (Ca+h) (DA-CS-R)] + Cc [ 1 +(DA-CS-R)/SA ] + sCa.(CS+R)/2).(CS+R)/DA  + s(Ca+h).(SA/2).(DA-CS-R)/DA

(CS+R)/DA est la part du temps pendant laquelle des produits acquis à l’ancien prix sont stockés et

(DA-CS-R)/DA  la part du temps pendant laquelle des produits acquis au nouveau prix sont stockés.

Les conditions d’optimisation s’obtiennent en résolvant le système :

∂Ct/∂SA= 0 ce qui donne :

SA* = √(2CcDA/(s(Ca+h))) et :

CS* = h.DA/(sCa) + (Ca+h)/Ca . SA* – R

Exercice :

Le fournisseur de Mr Vincent le prévient qu’il augmentera le prix de l’enceinte disco de 7.5€ à partir du 1er Septembre. Afin de bénéficier de l’ancien prix, Mr Vincent passe une commande spéciale le 30 Août date à laquelle il lui reste 60 unités en stock.

Quel est le volume de cette commande spéciale ainsi que des suivantes ?

Quelles répercutions cette hausse a elle sur le coût total annuel (304500€) ?

CS* = 7.5×2000/(.15×150) + (157.5/150) x 196 – 60  =  666.666 + 204.75 – 60  = 813 unités

CT = 315562,84 soit une différence de 11062,84

N* = 7

2.2.) Le coût d’acquisition varie en fonction du volume d’approvisionnement

Que se soit en externe ou en interne, la baisse des coûts suivant le volume se justifie respectivement par le principe de la remise sur quantité et celui de l’économie d’échelle. Il faut distinguer 2 cas.

2.2.1. Cas d’une variation discontinue

Cas où il existe un tarif dégressif en fonction d’intervalles Vi de volume de commande. Au sein de chaque intervalle, le coût d’acquisition Cia est constant. On peut par conséquent calculer dans chaque intervalle Vi un stock pré-optimal SAi minimisant un coût total pré-optimal CTi fonction de SAi qui ne tient pas compte des contraintes d’intervalles. Pour tenir compte de celles-ci il faut comparer la position de SAi par rapport aux bornes : Vi = [ qi ; qj ]. Il suffit ensuite de calculer les coûts CTi pour chaque intervalle et le minimum sera le coût optimal Ct* et le SAi qui lui correspond sera SA*. En d’autres termes : CT* = CT (SA*) = Min [CTi (SAi)]

Pour un intervalle Vi = [qi ; qj] donné, on a :

CTi = Cai DA + Cc.DA/SAi  + Cd.SAi/2 , on aura

SAi = √(2Cc.DA/(s.Cai))

Valeur qui annule la dérivée

Tableau de variation de la fonction coût total CTi sur l’intervalle Vi

3 cas sont possibles :

-         qi <= qj <= SAi = √(2CcDA/sCai) et alors  SAi* = qj extrémité supérieure

-          SAi <= qi <= qj et alors  SAi* = qi extrémité inférieure de l’intervalle

-          qi <= SAi <= qj et alors  SAi* = √(2CcDA/sCai)

Le fournisseur de Monsieur Vincent lui propose le tarif dégressif suivant :

Quantités commandées Prix : Cai
0 à 99 165€
100 à 299 150€
300 à 999 142,50€
1000 et plus 139,50€

Les autres conditions étant les mêmes, trouver SA*, N* et CT*

Intervalle SAi = √(2CcDA/sCai) SAi* CTi
Tarifs CAi
165 SA < 99 191 99 335770,58
150 100 < SA < 299 200 200 304500
142.5 300 < SA < 999 205 300 289706.25
139,5 1000 < SA 207 1000 289 912,50

2.2.2. Cas d’une variation continue

Dans cette hypothèse, le coût d’acquisition Ca est une fonction du volume de commande :

Ca = f(SA) = C0 ( 1 + k/SA ) où C0 est une valeur plancher et k est un paramètre spécifique. La fonction de coût total s’écrit :

CT = C0 ( 1 + k/SA ).DA + Cc.DA/SA  + sC0 ( 1 + k/SA).SA/2

L’optimisation se fait en annulant la dérivée par rapport à SA. On obtient :

SA* =  √(2.(kC0+Cc).DA/sC0)

EXERCICE :

Batimat est une société qui distribue des matériaux pour le bâtiment. Elle prévoit pour l’année à venir une demande de ciment de 2500 tonnes

La cimenterie lui fournit le ciment au coût de :

Ca = 37,5.(1 + 10/Q) € par tonne.

Le coût de détention d’une tonne de ciment pendant un an s’élève à 20% du coût d’acquisition. Le coût de commande est considéré comme quasiment nul.

1)      Etablir la fonction de Ct total

2)      SA* = 500 unités

3)      N* = 5 commandes

4)      Calculer le montant du coût total



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